Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2，E為AD中點，F(xiàn)為CC₁中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥D₁F；
（Ⅱ）求證：CE∥平面AD₁F；
（Ⅲ） 求平面AD₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD
∵DD₁⊥平面ABCD，AD?平面ABCD
∴AD⊥DD₁
∵DD₁∩CD=D，∴AD⊥平面CDD₁C₁
∵D₁F?平面CDD₁C₁，∴AD⊥D₁F
（Ⅱ）證明：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接A₁D，交AD₁于點M，連接ME，MF，則M為AD₁中點．
∵E為AD中點，F(xiàn)為CC₁中點．
∴
又∵
∴四邊形CEMF是平行四邊形，∴CE∥MF…（8分）
∵CE?平面AD₁F，MF?平面AD₁F，∴CE∥平面AD₁F．
（Ⅲ）解：以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖．
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1）
∴平面ABCD的法向量為
設(shè)平面AD₁F的法向量為=（x，y，z）．
∵，則有
∴
取z=1，得=（2，1，1）．
∴
∵平面AD₁F與平面所成二面角為銳角．
∴平面AD₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值為．
分析：（Ⅰ）先證明AD⊥CD，AD⊥DD₁，可得AD⊥平面CDD₁C₁，從而可得AD⊥D₁F；
（Ⅱ）連接A₁D，交AD₁于點M，連接ME，MF，則M為AD₁中點，利用三角形中位線性質(zhì)，可得線線平行，可得四邊形CEMF是平行四邊形，從而可得CE∥MF，利用線面平行的判定，可得CE∥平面AD₁F；
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，確定平面ABCD的法向量為，平面AD₁F的法向量=（2，1，1），利用向量的夾角公式，即可求得平面AD₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值．
點評：本題考查線面位置關(guān)系，考查線面垂直、線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，正確運用空間向量解決面面角問題，屬于中檔題．