Question

已知f（x）=2sinωxcos（ωx+φ），（ω＞0，-π＜φ＜π）的單増區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，（k∈Z）．
（1）求ω，φ的值；
（2）在△ABC中，若f（A）＜

3

，求角A的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式整理，根據(jù)已知單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)的周期，求得ω，確定函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的最大值，求得φ．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，根據(jù)已知f（A）＜

3

，確定2A-

π

3

的范圍，進(jìn)而求得A的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2sinωxcos（ωx+φ）=2sinωx（cosωxcosφ-sinωxsinφ）=sin2ωxcosφ-（1-cos2ωx）sinφ=sin（2ωx+φ）-sinφ，
由已知得T=π，
∴ω=

2π

2T

=1，
即f（x）=sin（2x+φ）-sinφ，
當(dāng)x=kπ+

5π

12

時(shí)，f（x）取最大值，即2（kπ+

5π

12

）+φ=

π

2

+2mπ，（k，m∈Z），
解得φ=-

π

3

+2nπ，（n∈Z），由于-π＜φ＜π，
∴φ=-

π

3

，
故ω=1，φ=-

π

3

．
（2）f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，由f（A）＜

3

，得sin（2A-

π

3

）＜

3

2

，
而-

π

3

＜2A-

π

3

＜

5π

3

，由正弦函數(shù)圖象得，2A-

π

3

∈（-

π

3

，

π

3

）∪（

2π

3

，

5π

3

），
∴A∈（0，

π

3

）∪（

π

2

，π）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦的兩角和公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．注意結(jié)合三角函數(shù)的圖象來(lái)解決．