【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,點(diǎn)M在線段PC上,且PM=2MC,N為AD的中點(diǎn).

(1)求證:平面PAD⊥平面PNB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱錐P﹣NBM的體積.

【答案】
(1)證明:∵PA=PD,N為AD的中點(diǎn),∴PN⊥AD,

∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴PA=AB,AN=AN,∠PAN=∠BAN,

∴△PNA≌△BNA,則BN⊥AD,

∵PN∩BN=N,∴AD⊥平面PNB,

又AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面PNB


(2)解:∵PA=PD=AD=2,∴PN=NB=

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD,

∴PN⊥平面ABCD,∴PN⊥BN,

∴SPNB= × × = ,

∵AD⊥平面PNB,AD∥BC,∴BC⊥平面PNB,

∵PM=2MC,∴VPNBM=VMPNB= VCPNB= × × ×2=


【解析】(1)由題意證明△PNA≌△BNA,得到BN⊥AD,再由線面垂直的判定證得AD⊥平面PNB,最后由面面垂直的判定得答案;(2)由面面垂直的性質(zhì)得到PN⊥平面ABCD,進(jìn)一步得到PN⊥BN,再由等積法把三棱錐P﹣NBM的體積轉(zhuǎn)化為棱錐C﹣PNB的體積求解.
【考點(diǎn)精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,與軸正半軸交于點(diǎn),若為等腰直角三角形,且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2.

(1)求橢圓的方程;

(2)直線與橢圓交于點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,射線與橢圓交于點(diǎn),點(diǎn)的重心,求證:的面積為定值.

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【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:

甲說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”; 乙說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”;

丙說:“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”; 丁說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”.

若這四位同學(xué)只有兩位說的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是( )

A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品

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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)為某一個(gè)三角形的邊長(zhǎng),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
A.[ ,1]
B.[0,1]
C.[1,2]
D.[ ,2]

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【題目】某校團(tuán)委會(huì)組織某班以小組為單位利用周末時(shí)間進(jìn)行一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組有5名同學(xué),在活動(dòng)結(jié)束后,學(xué)校團(tuán)委會(huì)對(duì)該班的所有同學(xué)進(jìn)行了測(cè)試,該班的A,B兩個(gè)小組所有同學(xué)得分(百分制)的莖葉圖如圖所示,其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損,但知道B組學(xué)生的平均分比A組同學(xué)的平均分高一分.

1)若在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人,求其得分超過86分的概率;

2)現(xiàn)從A、B兩組學(xué)生中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué),設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為mn,求的概率.

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【題目】一個(gè)工廠在某年連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間有如下一組數(shù)據(jù):

x

1.08

1.12

1.19

1.28

1.36

1.48

1.59

1.68

1.80

1.87

y

2.25

2.37

2.40

2.55

2.64

2.75

2.92

3.03

3.14

3.26

(1)通過畫散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;

(2)①建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程;

②通過建立的y關(guān)于x的回歸方程,估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬件時(shí),此時(shí)產(chǎn)品的總成本為多少萬元?

(均精確到0.001)

附注:①參考數(shù)據(jù):,

,

②參考公式:相關(guān)系數(shù),

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:

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【題目】為虛數(shù)集,設(shè),則下列類比所得的結(jié)論正確的是__________

①由,類比得

②由,類比得

③由,類比得

④由,類比得

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【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若,求證:當(dāng)時(shí),.

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