Question

【題目】設數(shù)列的所有項都是不等于的正數(shù)，的前項和為，已知點在直線上（其中常數(shù)，且）數(shù)列，又.

（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）如果，求實數(shù)的值；

（3）若果存在使得點和都在直線在上，是否存在自然數(shù)，當（）時，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2），（3）存在自然數(shù)，其最小值為

【解析】

（1）由題意把點，、代入直線，整理后得到，由此說明數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）把化為指數(shù)式，結合數(shù)列是等比數(shù)列可求值，再由在直線上，取求得值；

（3）由，知恒成立等價于恒成立．結合存在，，使得點和都在直線在上，推得是首項為正，公差為的等差數(shù)列．再由一定存在自然數(shù)，使求解自然數(shù)的最小值．

（1）證明：，、都在直線上，

，

即，又，且，

為非零常數(shù)，即數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）解：由，得，即，得．

由在直線上，得，

令得，；

（3）解：由，知恒成立等價于恒成立．

存在，，使得點和都在直線在上，

，，即，

又，，可得，

又，，

即是首項為正，公差為的等差數(shù)列．

一定存在自然數(shù)，使，

即，解得，

，．

存在自然數(shù)，其最小值為，使得當時，恒成立．