Question

由于霧霾日趨嚴(yán)重，政府號召市民乘公交出行．但公交車的數(shù)量太多會造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客需求．為此，某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，共抽取10人進(jìn)行調(diào)查反饋，所選乘客情況如下表所示：

組別	候車時間（單位：min）	人數(shù)
一	[0，5）	1
二	[5，10）	5
三	[10，15）	3
四	[15，20）	1

（Ⅰ）估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；
（Ⅱ）現(xiàn)從這10人中隨機(jī)取3人，求至少有一人來自第二組的概率；
（Ⅲ）現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)這3個人共來自X個組，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中候車時間少于10分鐘的人數(shù)所占的比例，即為所求．
（Ⅱ）用1減去這三個人都不是第二組的人的概率，即得至少有一人來自第二組的概率．
（Ⅲ）X的可能值為1，2，3，P（X=1）、P（X=2）、P（X=3）的值，可得X的分布列以及X的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）候車時間少于10分鐘的人數(shù)為 60×（

1

10

+

5

10

）=36（人）．
（Ⅱ）設(shè)“至少有一人來自第二組為事件A”，則P（A）=1-

C 3 5

C 3 10

=

11

12

．
（Ⅲ）X的可能值為1，2，3，P（X=1）=

C 3 5 +C 3 3

C 3 10

=

11

120

，
P（X=2）=

(C 2 5 +C 2 3 )×2 +C 2 5 •C 1 3 +C 2 3 •C 1 5

C 3 10

=

71

120

，
 P（X=3）=

C 1 3 •C 1 5 ×2 +C 1 5 +C 1 3

C 3 10

=

38

120

，
所以X的分布列為

X	1	2	3
P	11 120	71 120	38 120

∴EX=

11

120

+2

71

120

+3×

38

120

=

89

40

．

點評：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列的定義和求法，求出隨機(jī)變量取每個值的概率，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．