Question

設函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，t+

1

4

）上存在極值，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若對任意的x₁，x₂，當x₁＞x₂≥e時，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m，n（m＜n），當x∈[m，n]時f（x）的值域為[m，n]？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，t+

1

4

）上存在極值，即f′（x）=0在（t，t+

1

4

）上有實數(shù)解，利用導數(shù)解得即可；
（2）由（1）可得f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞減，故x₁＞x₂≥e時，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，等價于f(x2)-

k

x2

≥f(x1)-

k

x1

，在[e，+∞）上恒成立．令F（x）=f（x）-

k

x

，則上述問題等價于函數(shù)f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞減，利用導數(shù)解得即可；
（3）由（1）知，在x∈（0，+∞）時，f（x）≤1，n≤1．結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x的交點可知，存在實數(shù)m，n符合題意，其中n=1．
故只要證明f（x）=x在（0，1）內(nèi)有一解，即x²-1-lnx=0在（0，1）內(nèi)有一解，令g（x）=x²-1-lnx，（x＞0），利用判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)在（0，1）上有零點，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由f（x）=

1+lnx

x

．x＞0得f′（x）=-

lnx

x2

，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=1處取得極大值，f（x）_極大值=f（1）=1，
∴t＜1＜t+

1

4

，解得

3

4

＜t＜1，
即實數(shù)t的取值范圍是（

3

4

，1）．
（2）由（1）知f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞減，
∵x₁＞x₂≥e，由|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|得f（x₂）-f（x₁）≥

k

x2

-

k

x1

，
即f(x2)-

k

x2

≥f(x1)-

k

x1

，恒成立．
令F（x）=f（x）-

k

x

，則上述問題等價于函數(shù)f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞減，
又F（x）=

1+lnx

x

-

k

x

，∴F′（x）=-

k-lnx

x2

≤0在[e，+∞）上恒成立，得k≤lnx在[e，+∞）上恒成立，
而lnx在[e，+∞）上的最小值為lne=1，故得k≤1．
（3）由（1）知，在x∈（0，+∞）時，f（x）≤1，∴n≤1．
結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x的交點可知，存在實數(shù)m，n符合題意，其中n=1．
故只要證明f（x）=x在（0，1）內(nèi)有一解，即x²-1-lnx=0在（0，1）內(nèi)有一解，
令g（x）=x²-1-lnx，（x＞0），則g′（x）=

2x2-1

x

，
由g′（x）=0得，x=

2

2

，
∴當x∈(0，

2

2

)時，g′（x）＜0，當x∈(

2

2

，+∞)時，g′（x）＞0，
∴在（0，1）上，g（x）_min=g（

2

2

）=-

1

2

+

1

2

ln2=

1

2

（ln2-1）＜0．
又g（

1

e

）=

1

e2

-1-ln

1

e

=

1

e2

＞0，
∴存在x0∈(

1

e

，

2

2

)?(0，1)，使得g（x₀）=0，滿足f（x₀）=x₀，即f（x）=x在（0，1）內(nèi)有一解．
綜上所述，存在實數(shù)m，n（m＜n），滿足當x∈[m，n]時f（x）的值域為[m，n]．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，考查學生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，綜合性、邏輯性強，屬于難題．