Question

已知函數(shù)f（x）=（x-k）e^x，
（ I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ II）求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)k≤1時(shí)，f（x）＞k²-2在區(qū)間[0，1]上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=（x-k）e^x，知f′（x）=（x-k+1）e^x，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（II）當(dāng)k-1≤0，f（x）_min=f（0）；當(dāng)0＜k-1≤1，f（x）_min=f（k-1）；當(dāng)k-1＞1，即k＞2時(shí)，f（x）_min=f（1）．由此能求出f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．
（Ⅲ）由（II）知，只需當(dāng)k≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值-k＞k²-2，由此能求出k的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=（x-k）e^x，
∴f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，解得x=k-1，
由f′（x）＞0，得x＜k-1；由f′（x）＜0，得x＞k-1．
∴f（x）的增區(qū)間是（k-1，+∞），減區(qū)間是（-∞，k-1）．
（II）當(dāng)k-1≤0，即k≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞增，
∴f（x）_min=f（0）=-k；
當(dāng)0＜k-1≤1，即1＜k≤2時(shí)，
由（I）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，k-1]上遞減，在（k-1，1]上遞增，
∴f（x）_min=f（k-1）=-e^k-1．
當(dāng)k-1＞1，即k＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞減，
∴f（x）_min=f（1）=（1-k）e．
（Ⅲ）由（II）知，
當(dāng)k≤1時(shí)，f（x）＞k²-2在區(qū)間[0，1]上恒成立，
只需當(dāng)k≤1時(shí)，
f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值-k＞k²-2，
∴-2＜k＜1．
故k的取值范圍是{k|-2＜k＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用