Question

數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}滿足：b_n=a_n-2a_n+1，c_n=a_n+1+2a_n+2-2，n∈N^*．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}，{c_n}都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{a_n}從第二項起為等差數(shù)列；
（3）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，試判斷當b₁+a₃=0時，數(shù)列{a_n}是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的定義只要證明b_n+1-b_n=一個常數(shù)即可；
（2）當n≥2時，c_n-1=a_n+2a_n+1-2，b_n=a_n-2a_n+1，可得an=

bn+cn-1

2

+1，an+1=

bn+1+cn

2

+1，只要證明a_n+1-a_n等于一個常數(shù)即可；
（3）解：數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．
解法1　設數(shù)列{b_n}的公差為d'，由b_n=a_n-2a_n+1，利用“錯位相減”可得2nbn+2n-1bn-1+…+2b1=2a1-2n+1an+1，設Tn=2b1+22b2…+2n-1bn-1+2nbn，可得Tn=-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn，進而得到an+1=

2a1+2b1-4d′

2n+1

-(bn-d′)，令n=2，得a3=

2a1+2b1-4d′

23

-(b2-d′)=

2a1+2b1-4d′

23

-b1，利用b₁+a₃=0，可得a_n+2-a_n+1=-（b_n+1-d'）+（b_n-d'）=-d'，即可證明．
解法2 由b_n=a_n-2a_n+1，b₁+a₃=0，令n=1，a₁-2a₂=-a₃，即a₁-2a₂+a₃=0，可得b_n+1=a_n+1-2a_n+2，b_n+2=a_n+2-2a_n+3，2b_n+1-b_n-b_n+2=（2a_n+1-a_n-a_n+2）-2（2a_n+2-a_n+1-a_n+3），由于數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，可得2b_n+1-b_n-b_n+2=0，可得2a_n+1-a_n-a_n+2=2（2a_n+2-a_n+1-a_n+3），即可證明．

解答： 證明：（1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵b_n=a_n-2a_n+1，
∴b_n+1-b_n=（a_n+1-2a_n+2）-（a_n-2a_n+1）=（a_n+1-a_n）-2（a_n+2-a_n+1）=d-2d=-d，
∴數(shù)列{b_n}是公差為-d的等差數(shù)列．　
（2）當n≥2時，c_n-1=a_n+2a_n+1-2，
∵b_n=a_n-2a_n+1，
∴an=

bn+cn-1

2

+1，∴an+1=

bn+1+cn

2

+1，
∴an+1-an=

bn+1+cn

2

-

bn+cn-1

2

=

bn+1-bn

2

+

cn-cn-1

2

，
∵數(shù)列{b_n}，{c_n}都是等差數(shù)列，
∴

bn+1-bn

2

+

cn-cn-1

2

為常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}從第二項起為等差數(shù)列．
（3）解：數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．
解法1　設數(shù)列{b_n}的公差為d'，
∵b_n=a_n-2a_n+1，
∴2nbn=2nan-2n+1an+1，
∴2n-1bn-1=2n-1an-1-2nan，…，2b1=2a1-22a2，
∴2nbn+2n-1bn-1+…+2b1=2a1-2n+1an+1，
設Tn=2b1+22b2…+2n-1bn-1+2nbn，
∴2Tn=22b1+…+2nbn-1+2n+1bn，
兩式相減得：-Tn=2b1+(22+…+2n-1+2n)d′-2n+1bn，
即Tn=-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn，
∴-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn=2a1-2n+1an+1，
∴2n+1an+1=2a1+2b1+4(2n-1-1)d′-2n+1bn=2a1+2b1-4d′-2n+1(bn-d′)，
∴an+1=

2a1+2b1-4d′

2n+1

-(bn-d′)，
令n=2，得a3=

2a1+2b1-4d′

23

-(b2-d′)=

2a1+2b1-4d′

23

-b1，
∵b₁+a₃=0，
∴

2a1+2b1-4d′

23

=b1+a3=0，
∴2a₁+2b₁-4d′=0，
∴a_n+1=-（b_n-d′），
∴a_n+2-a_n+1=-（b_n+1-d′）+（b_n-d′）=-d′，
∴數(shù)列{a_n}（n≥2）是公差為-d'的等差數(shù)列，
∵b_n=a_n-2a_n+1，令n=1，a₁-2a₂=-a₃，即a₁-2a₂+a₃=0，
∴數(shù)列{a_n}是公差為-d'的等差數(shù)列．
解法2∵b_n=a_n-2a_n+1，b₁+a₃=0，
令n=1，a₁-2a₂=-a₃，即a₁-2a₂+a₃=0，
∴b_n+1=a_n+1-2a_n+2，b_n+2=a_n+2-2a_n+3，
∴2b_n+1-b_n-b_n+2=（2a_n+1-a_n-a_n+2）-2（2a_n+2-a_n+1-a_n+3），
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴2b_n+1-b_n-b_n+2=0，
∴2a_n+1-a_n-a_n+2=2（2a_n+2-a_n+1-a_n+3），
∵a₁-2a₂+a₃=0，
∴2a_n+1-a_n-a_n+2=0，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點評：本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．