Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+lnx，g（x）=tx-

t-1+2e

x

-1nx（t≥0）
（1）當t=0時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在x₀∈[1，e]，使得g（x₀）＞f（x₀），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）t=0時，得到函數(shù)的表達式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由?x₀∈[1，e]，g（x₀）＞f（x₀），令h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，e]，只需h（x）在[1，e]上的最大值大于0即可，通過求導(dǎo)得出h（x）在[1，e]上遞增，進而最大值h（e）=te-

t+2e

e

-2，令h（e）＞0，解出t的范圍即可．

解答： 解：（1）t=0時，g（x）=

1-2e

x

-lnx，
∴g′（x）=

2e-1-x

x2

，（x＞0），
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2e-1，
令g′（x）＜0，解得：x＞2e-1，
∴g（x）在（0，2e-1）遞增，在（2e-1，+∞）遞減，
（2）∵?x₀∈[1，e]，g（x₀）＞f（x₀），
即?x₀∈[1，e]，g（x₀）-f（x₀）＞0，
令h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，e]，
∴只需h（x）在[1，e]上的最大值大于0即可，
h（x）=tx-

t+2e

x

-2lnx，（x∈[1，e]），
∴h′（x）=

tx2+t+2e-2x

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2x∈[2，2e]，∴2e-2x≥0，而tx²+t≥0，
∴h′（x）≥0在[1，e]上恒成立，且僅有有限個點處h′（x）=0，
∴h（x）在[1，e]上遞增，
∴當x=e時h（x）取到最大值h（e）=te-

t+2e

e

-2，
令h（e）＞0，解得：t＞

4e

e2-1

，
∴t的范圍是（

4e

e2-1

，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．