Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c．
（Ⅰ）若f（x）有極值，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在x=1處取得極值，且f（x）有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²-x+b，要使f（x）有極值，則3x²-x+b=0有兩不等實(shí)數(shù)解，由此能求出b的取值范圍．
（Ⅱ）由f′（1）=0，得3-1+b=0，f（x）=x³-

1

2

x2-2x+c=0有3解，等價(jià)于g（x）=x³-

1

2

x2-2x與y=-c有3個(gè)交點(diǎn)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出c的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，要使f（x）有極值，
則3x²-x+b=0有兩不等實(shí)數(shù)解，…（2分）
從而△=1-12b＞0，∴b＜

1

12

．…（4分）
（Ⅱ）由f′（1）=0得3-1+b=0得b=-2…（5分）
即f（x）=x³-

1

2

x2-2x+c=0有3解，
等價(jià)于g（x）=x³-

1

2

x2-2x與y=-c有3個(gè)交點(diǎn)，…（7分）
g′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
令g′（x）=0得x=1或-

2

3

，…（9分）
列x，g′（x），g（x）關(guān)系表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值 22 27	↓	極小值- 3 2	↑

∵y=-c與g（x）有3個(gè)交點(diǎn)
∴-

3

2

＜-c＜

22

27

，故-

22

27

＜c＜

3

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運(yùn)用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．