Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

2

+y²=1的左右焦點(diǎn)，過F₁作傾斜角為45°的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求△F₂AB的周長
（2）求AB的長
（3）求△F₂AB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由

x2

2

+y2=1 可得 a=

2

，△F₂AB的周長=4a=4

2

．
（2）把 y=x+1 代入 x²+2y²=2 求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．
（3）利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)F₂到直線AB的距離d，即可得出S=

1

2

•|AB|•d．

解答： 解：（1）由

x2

2

+y2=1 可得 a=

2

，b=1=c，
∴△F₂AB的周長=4a=4

2

．
（2）把 y=x+1 代入 x²+2y²=2 得3x²+4x=0，
解得x₁=0  x₂=-

4

3

，y₁=1，y₂=-

1

3

，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4 2

3

．
（3）點(diǎn)F₂到直線AB的距離d=

|1-0+1|

2

=

2

，
S=

1

2

•|AB|•d=

1

2

•

4 2

3

2

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問題、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，
考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．