【題目】如果存在常數(),對于任意,都有成立,那么稱該函數為“函數”.
(1)分別判斷函數,是否為“函數”,若不是,說明理由;
(2)若函數是“函數”,求實數的取值范圍;
(3)記所有定義在上的單調函數組成的集合為,所有函數組成的集合為,求證:.
【答案】(1)是“函數”,不是“函數”;詳見解析(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)根據函數的定義逐個檢驗可得;
(2)根據題意可得恒成立,結合恒成立問題可求;
(3)結合單調函數的定義可證單調函數均為函數,通過特殊函數可得函數不一定是單調函數,所以可證結論.
(1)因為,所以,所以,故是“函數”; 因為不恒大于0,所以不是“函數”.
(2)因為函數是“函數”,
所以恒成立,
當時,顯然成立;當時,需要,解之得,
綜上可得.
(3)證明:若為單調遞增函數,則時,都有成立;
若為單調遞減函數,則時,都有成立;所以單調函數一定是函數,即.
反之,函數不一定是單調函數,比如,取整函數是函數,但是它不是單調函數.綜上可得.
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【題目】在下列命題中:
①方程表示的曲線所圍成區(qū)域面積為;
②與兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程為;
③與兩定點距離之和等于的點的軌跡為橢圓;
④與兩定點距離之差的絕對值等于1的點的軌跡為雙曲線.
正確的命題的序號是________.(注:把你認為正確的命題序號都填上)
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【題目】某地區(qū)上年度電價為元/kWh,年用電量為kWh.本年度計劃將電價降低到0.55元/ kWh到0.75元/ kWh之間,而用戶期望電價為0.40元/ kWh.經測算,下調電價后新增用電量與實際電價與用戶的期望電價的差成反比(比例系數為),該地區(qū)電力的成本價為0.30元/ kWh.
(1)寫出本年度電價下調后,電力部門的收益與實際電價之間的函數關系式;
(2)設=,當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上一年至少增長20%?(注:收益=實際電量×(實際電價-成本價))
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【題目】扇形AOB中心角為,所在圓半徑為,它按如圖(Ⅰ)(Ⅱ)兩種方式有內接矩形CDEF.
(1)矩形CDEF的頂點C、D在扇形的半徑OB上,頂點E在圓弧AB上,頂點F在半徑OA上,設;
(2)點M是圓弧AB的中點,矩形CDEF的頂點D、E在圓弧AB上,且關于直線OM對稱,頂點C、F分別在半徑OB、OA上,設;
試研究(1)(2)兩種方式下矩形面積的最大值,并說明兩種方式下哪一種矩形面積最大?
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【題目】如圖,直三棱柱的底面邊長和側棱長均為2,為棱的中點 .
(1)證明:平面平面;
(2)是否存在平行于的動直線,分別與棱交于點,使得平面與平面所成的銳二面角為,若存在,求出點到直線的距離;若不存在,說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,已知圓的圓心坐標為,半徑為,以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線的參數方程為: (為參數)
(1)求圓和直線的極坐標方程;
(2)點 的極坐標為,直線與圓相較于,求的值.
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