Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)為該圓的圓心，并且線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線分別交（1）中點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)（四點(diǎn)互不相同），證明：直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過一定點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得，再結(jié)合橢圓的定義，可得點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，利用兩直線方程，及， 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得，結(jié)合前面兩式，化簡(jiǎn)可得．則當(dāng)時(shí)，恒成立，直線過定點(diǎn)．試題解析：（Ⅰ）依題意有， ，

且，

所以點(diǎn)的軌跡方程為： ．

（Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為： ，

代入橢圓方程得：

且： ①，②

∵直線： ，直線：

由題知， 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，得：

，即

即： ，整理得：

③

將①②代入③得：

化簡(jiǎn)可得：

當(dāng)變化時(shí)，上式恒成立，故可得：

所以直線恒過一定點(diǎn).