Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-

1

2

cos2ωx，ω＞0，x∈R且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又f（

A

2

+

π

3

）=

4

5

，b=1，△ABC的面積等于3，求邊長a的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：計算題,綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）對函數(shù)解析式化簡，進(jìn)而根據(jù)已知的周期求得ω，得到函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）把已知條件代入可求得cosA的值，求得sinA，然后利用面積公式求得c，最后利用余弦定理求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinωxcosωx-

1

2

cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）
∵T=

2π

2ω

=π
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

），當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

時（k∈Z），
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），函數(shù)單調(diào)增．
∴ω=1．函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）∵f（

A

2

+

π

3

）=sin[2（

A

2

+

π

3

）-

π

6

]=sin（A+

π

2

）=

4

5

，
∴cosA=

4

5

∴sinA=

1-cos 2A

=

3

5

∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

•1•c•

3

5

=3
∴c=10
∴a=

b2+c2-2bccosA

=

1+100-2×1×10× 4 5

=

85

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理解三角形．