Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M(2，t)(t>0)在直線x＝(a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距)上．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；

(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）(x－1)2＋(y－2)2＝5（3）

【解析】(1)【解析】
由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得＝2，故＝2，∴c＝1，從而a＝，所以橢圓方程為＋y2＝1.

(2)【解析】
以O(shè)M為直徑的圓的方程為x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋＝＋1，其圓心為，半徑r＝，因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x－4y－5＝0截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線3x－4y－5＝0的距離d＝＝，所以＝，解得t＝4，所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.

(3)證明：設(shè)N(x0，y0)，則＝(x0－1，y0)，＝(2，t)，＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)．∵⊥，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2.

∵⊥，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴＋＝2x0＋ty0＝2，∴||＝＝為定值．