Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1-3a_n=3ⁿ（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{a_n}{3^n}$．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用條件，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 （I）證明：∵${b_n}=\frac{a_n}{3^n}$，${b_{n+1}}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}}}$，${a_{n+1}}-3{a_n}={3^n}（n∈{{N}^*}）$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{3}$，…（2分）
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，…（4分）
∵${b_1}=\frac{a_1}{3}=1$，∴${b_n}=1+（n-1）\frac{1}{3}=\frac{n+2}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a_n}={3^n}{b_n}=（n+2）×{3^{n-1}}$；…（6分）
（II）解：∵${S_n}=3×{3^0}+4×{3^1}+…+（n+2）×{3^{n-1}}$，
∴$3{S_n}=3×3+4×{3^2}+…+（n+2）×{3^n}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，相減得：$-2{S_n}=3×{3^0}+{3^1}+{3^2}+…+{3^{n-1}}-（n+2）×{3^n}$
∴$-2{S_n}=3+\frac{{{3^1}-{3^{n-1}}×3}}{1-3}-（n+2）{3^n}$，…（8分）
整理得${S_n}=\frac{{（2n+3）×{3^n}}}{4}-\frac{3}{4}$，
當(dāng)n=1時(shí)，${S_1}={a_1}=3=\frac{{（2+3）×{3^1}}}{4}-\frac{3}{4}$，…（11分）
綜上，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=\frac{{（2n+3）×{3^n}}}{4}-\frac{3}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．