【題目】已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)設(shè)bn=an3n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程,解出d的值,即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算前n項(xiàng)和Tn.
(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),則
a4a5=(1+3d)(1+4d)=11,
整理,得12d2+7d﹣10=0,
解得d(舍去),或d,
∴an=1(n﹣1),n∈N*.
(2)由(1)知,bn=an3n3n=(2n+1)3n﹣1,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×1+5×31+7×32+…+(2n+1)3n﹣1,
∴3Tn=3×31+5×32+…+(2n﹣1)3n﹣1+(2n+1)3n,
兩式相減,可得:
﹣2Tn=3×1+2×31+2×32+…+23n﹣1﹣(2n+1)3n
=3+2×(31+32+…+3n﹣1)﹣(2n+1)3n
=3+2(2n+1)3n
=﹣2n3n,
∴Tn=n3n.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一幅招貼畫的示意圖,其中ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形,周圍是四個(gè)全等的弓形.已知O為正方形的中心,G為AD的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線OG上,弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分,OG的延長(zhǎng)線交弧AD于點(diǎn)H.設(shè)弧AD的長(zhǎng)為,.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù),當(dāng)優(yōu)美系數(shù)最大時(shí),招貼畫最優(yōu)美.證明:當(dāng)角滿足:時(shí),招貼畫最優(yōu)美.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
(1)求拋物線方程;
(2)過(guò)直線上一點(diǎn)作拋物線的切線切點(diǎn)為A,B
①設(shè)直線PA、AB、PB的斜率分別為,求證:成等差數(shù)列;
②若以切點(diǎn)B為圓心r為半徑的圓與拋物線C交于D,E兩點(diǎn)且D,E關(guān)于直線AB對(duì)稱,求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A. “f(0)”是“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的充要條件
B. 若p:,,則:,
C. “若,則”的否命題是“若,則”
D. 若為假命題,則p,q均為假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A是拋物線E:y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),以點(diǎn)A和點(diǎn)B(2,0)為直徑兩端點(diǎn)的圓C交直線x=1于M,N兩點(diǎn).
(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程;
(2)若0<p<1,拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點(diǎn)為P,Q,點(diǎn)G為PQ的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線OG斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為.
(Ⅰ)設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·全國(guó)卷Ⅲ文,18)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天數(shù) | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率;
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面底面,,分別為,中點(diǎn),.
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一點(diǎn),使平面?若存在,指出點(diǎn)的位置;若不存在,說(shuō)明理由.
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