【題目】如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為的正方形，周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心，G為AD的中點，點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H.設(shè)弧AD的長為，.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當優(yōu)美系數(shù)最大時，招貼畫最優(yōu)美.證明：當角滿足：時，招貼畫最優(yōu)美.

【答案】（1），；（2）證明見解析

【解析】

（1）分類時，點P在線段OG上，當時，點P在線段GH上，當 時，.求出半徑后可得弦長；

（2）由（1）的分類討論求得.，令，用導數(shù)的知識求它的最大值即可得．

解：（1）當時，點P在線段OG上，；

當時，點P在線段GH上，；

當 時，. 綜上所述，，.

所以，弧AD的長，故所求函數(shù)關(guān)系式為，.

（2）當時，；

當時，；

當 時，.所以，，.

從而，.

記，. 則.

令，得. 因為，所以，

從而， 顯然，所以.

記滿足的，下面證明是函數(shù)的極值點.

設(shè)，.則在上恒成立， 從而在上單調(diào)遞減，所以，當時，，即，在上單調(diào)遞增；當時，，即，在上單調(diào)遞減.

故 在處取得極大值，也是最大值.

所以，當滿足時，函數(shù)即取得最大值，此時招貼畫最優(yōu)美.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1， ＝9a2a6.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項和．

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【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）已知點，直線與曲線相交于兩點，求證：.

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【題目】在銳角中，角的對邊分別為，.

（1）求角的大��；

（2）若，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，有兩個不同的零點，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，）.

（1）請用角表示清潔棒的長；

（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側(cè)面為等邊三角形，且平面平面.

（1）求平面與平面所成的銳二面角的大��；

（2）若，且直線與平面所成角為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為.設(shè)分別是數(shù)列的前項和，且， ，

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，.

（1）求數(shù)列{an}的通項an；

（2）設(shè)bn＝an3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

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