Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，n為正整數(shù)，對任意的n≥2都有a_n+2a_na_n-1-a_n-1=0成立．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）判斷a₃•a₆是否為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由；
（3）設(shè)c_n=a_n•a_n+1（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用定義法和遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）驗(yàn)證數(shù)列的項(xiàng)．用代入法求解．
（3）利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．

解答： （1）證明：已知數(shù)列{a_n}滿足：對任意的n≥2都有a_n+2a_na_n-1-a_n-1=0成立，
則：

1

an

-

1

an-1

=2（常數(shù)）
所以：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列．

1

an

=

1

a1

+2(n-1)
由于a₁=1，
所以：an=

1

2n-1

當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
所以：an=

1

2n-1

（2）解：根據(jù)（1）求得：a₃a₆=

1

55

令

1

2n-1

=

1

55

解得：n=28
所以：a₃a₆是數(shù)列a_n中的第28項(xiàng)．
（3）解：由（1）得：cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)1
所以：數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證數(shù)列的項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題型．