【題目】設(shè)橢圓的方程為，斜率為的動直線交橢圓于、兩點，以線段的中點為圓心，為直徑作圓.

（1）求圓心的軌跡方程，并描述軌跡的圖形；

（2）若圓經(jīng)過原點，求直線的方程；

（3）證明：圓內(nèi)含或內(nèi)切于圓.

【答案】（1）圓心的軌跡方程為，軌跡為線段；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式大于零，以及韋達定理和中點坐標公式，可得圓心的軌跡方程，并確定軌跡圖形；

（2）利用弦長公式求得，以及圓的方程，代入原點，可求的值，進而可求得直線的方程；

（3）利用兩圓內(nèi)切和內(nèi)含的條件，結(jié)合兩點間的距離公式，計算可得出結(jié)論成立.

（1）設(shè)斜率為的動直線的方程為，

聯(lián)立橢圓方程，可得，

設(shè)、，則，即，

由韋達定理得，，

則中點，可得圓心的軌跡方程為，即軌跡為線段；

（2）由（1）可得，

可得圓的方程為，

若圓經(jīng)過原點，可得，解得，

因此，直線的方程為；

（3）圓的圓心設(shè)為，半徑為，

圓的圓心，半徑為，

由，

可令，則，

可得，

可得圓內(nèi)含或內(nèi)切于圓.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，兩條曲線交于兩點.

(1) 求直線與曲線交點的極坐標；

(2) 已知為曲線 (為參數(shù))上的一動點，設(shè)直線與曲線的交點為，求的面積的最小值.

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