【題目】設(shè)函數(shù)f(x)(mR).

1)當(dāng)m=1時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)F(x)=f(x)+xm+2有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1) 遞增區(qū)間為(0,e),遞減區(qū)間為(e,+∞) (2) (,﹣2e).

【解析】

1時(shí),求出,求出的解,即可得出結(jié)論;

2)求出整理,有兩個(gè)零點(diǎn),轉(zhuǎn)化為函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn),求,求出極值點(diǎn),分析函數(shù)值的變化趨勢(shì),只需g(x)的極小值g()<0方程有兩個(gè)零點(diǎn),解不等式g()<0,即可求出結(jié)論.

(1)當(dāng)m=1時(shí),f(x),x>0,∴f'(x),

f'(x)=0,得1lnx=0x=e,

的變化變化如下表:

x

(0,e)

e

(e+∞)

f'(x)

+

0

f(x)

遞增

極大值

遞減

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e+∞);

(2)F(x)xm+2,定義域?yàn)?/span>(0,+∞),

F(x)xm+2,

設(shè)g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x

∵函數(shù)F(x)=f(x)+xm+2有兩個(gè)零點(diǎn),

∴函數(shù)g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有兩個(gè)零點(diǎn),

g'(x)

g'(x)=0得,x,

∵函數(shù)g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有兩個(gè)零點(diǎn),

∴函數(shù)g(x)(0,+∞)上不單調(diào),∴0,∴m<0,

的變化變化如下表:

x

(0,)

(,+∞)

g'(x)

0

+

g(x)

遞減

極小值

遞增

∴函數(shù)g(x)的極小值為g()

∵當(dāng)x→0時(shí),g(x)→+∞;當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞,

∴若函數(shù)g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有兩個(gè)零點(diǎn),

則函數(shù)g(x)的極小值g()<0,

4mln()+4m24m4m<0

mln()m<0,又∵m<0,∴ln()>1,

e,∴m<2e

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為:(,﹣2e).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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