Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P（1，

2

2

）在橢圓上，線段PF₁與y軸的交點M滿足

PM

=

MF2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；   
（2）（文）過F₂的直線l交橢圓于A，B兩點，且

AF2

=2

F2B

，求直線l方程．
（2）（理）過F₁作不與x軸重合的直線l，l與圓x²+y²=a²+b²相交于A、B．并與橢圓相交于C、D．當(dāng)

F2A

•

F2B

=λ，且λ∈[

2

3

，1]時，求△F₂CD的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用點P（1，

2

2

）在橢圓上，線段PF₁與y軸的交點M滿足

PM

=

MF2

，可得方程

1

a2

+

1 2

b2

=1，a²-b²=1，由此可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（文）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

AF2

=2

F2B

得：x₁=3-2x₂，y₁=-2y₂，由此可求直線的方程；
（2）（理）設(shè)l方程為x=ty-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=ty-1 x2+y2=3

得（t²+1）y²-2ty-2=0，利用

F2A

•

F2B

=

4

t2+1

-2，及 λ∈[

2

3

，1]，可得t²∈[

1

3

，

1

2

]；由

x=ty-1 x2 2 +y2=1

，得（t²+2）y²-2ty-1=0，設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），從而可得S_△F1CD=

1

2

|F₁F₂|y₃-y₄|=|y₃-y₄|，換元，確定S的單調(diào)性，即可得到結(jié)論

解答：解：（1）∵點P（1，

2

2

）在橢圓上，線段PF₁與y軸的交點M滿足

PM

=

MF2

，
∴

1

a2

+

1 2

b2

=1，a²-b²=1
∴a²=2，b²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
．（2）（文）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

AF2

=2

F2B

得：x₁=3-2x₂，y₁=-2y₂
由

x22

2

+y

2 2

=1和

(3-2x2)2

2

+(-2y2)2=1解得：x2=

5

4

，y2=±

14

8

∴k=±

14

2

∴直線的方程為y=±

14

2

(x-1)；
（2）（理）設(shè)l方程為x=ty-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=ty-1 x2+y2=3

得（t²+1）y²-2ty-2=0

F2A

•

F2B

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（ty₁-2）（ty₂-2）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂-2t（y₁+y₂）+4
=

4

t2+1

-2，
由 λ∈[

2

3

，1]，得t²∈[

1

3

，

1

2

]，
由

x=ty-1 x2 2 +y2=1

，得（t²+2）y²-2ty-1=0
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
則S_△F1CD=

1

2

|F₁F₂|y₃-y₄|=|y₃-y₄|=

8(t2+1) (t2+2)2

設(shè)m=t²+1，則S=

8 m+ 1 m +2

，m∈[

4

3

，

3

2

]
S關(guān)于m在[

4

3

，

3

2

]上是減函數(shù)．所以S∈[

4

5

3

，

4

7

6

]．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，考查面積的計算，同時考查基本不等式的運用，屬于中檔題．