Question

14．如圖，正三棱柱ABC-A′B′C′中，F(xiàn)是線段B′C′的中點(diǎn)，D，E分別是線段BB′，B′C′上的點(diǎn)，連接DE，BF，A′E，A′F，A′D，A′B，AC′，且2B′D=DB，B′E=$\frac{1}{4}$B′C′．
（1）探究平面A′BF與平面BCC′B′的位置關(guān)系，并進(jìn)行說(shuō)明；
（2）證明：AC′∥平面 A′DE．

Answer 1

分析 （1）由已知得A′B′=A′C′，BB′⊥A′B′C′，A′F⊥B′C′，從而A′F⊥平面BCC′B′，由此能證明平面A′BF⊥平面BCC′B′．
（2）以F為原點(diǎn)，AF為x軸，F(xiàn)C′為y國(guó)，取BC中點(diǎn)G，以FG為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC′∥平面 A′DE．

解答 （1）解：平面A′BF⊥平面BCC′B′．
證明如下：
∵ABC-A′B′C′是正三棱柱，
∵A′B′=A′C′，BB′⊥A′B′C′，
∵F是線段B′C′的中點(diǎn)，∴A′F⊥B′C′，
∵A′F?平面A′B′C′，∴A′F⊥平面BCC′B′，
∵A′F?平面A′BF，
∴平面A′BF⊥平面BCC′B′．
（2）證明：以F為原點(diǎn)，AF為x軸，F(xiàn)C′為y國(guó)，取BC中點(diǎn)G，以FG為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2a，AA′=b，則A′（-$\sqrt{3}a$，0，0），D（0，-a，$\frac{3}$），E（0，-$\frac{a}{2}$，0），C′（0，a，0），A（-$\sqrt{3}a$，0，b），
∴$\overrightarrow{A{C}^{'}}$=（$\sqrt{3}a$，a，-b），$\overrightarrow{ED}$=（0，-$\frac{a}{2}$，$\frac{3}$），$\overrightarrow{E{A}^{'}}$=（-$\sqrt{3}a$，$\frac{a}{2}$，0），
設(shè)平面A′DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=-\frac{a}{2}y+\frac{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{A}^{'}}=-\sqrt{3}ax+\frac{a}{2}y=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，6，$\frac{9a}$），
∴$\overrightarrow{A{C}^{'}}•$$\overrightarrow{n}$=3a+6a-9a=0，
∵AC′?平面A′DE，∴AC′∥平面 A′DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩平面位置關(guān)系的探究與證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．