Question

9．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的點均在C₂：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$外，且對C₁上任意一點M，M到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于該點與圓C₂上點的距離的最小值．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）已知直線l過定點P（-2，1），斜率為k，當 k為何值時，直線l與曲線C₁只有一個公共點點；有兩個公共點？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設M的坐標為（x，y），根據(jù)M到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于該點與圓C₂上點的距離的最小值，可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-\frac{1}{2}$=|x$+\frac{1}{2}$|，結合已知可知，在直線x=-$\frac{1}{2}$的右側，從而可得曲線C₁的方程；
（II）由題意可設直線l的方程為y-1=k（x+2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x+2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得，k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，轉化為方程有一個根或兩個根，求解k的范圍即可

解答 解：（I）由已知可得，$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-\frac{1}{2}$=|x$+\frac{1}{2}$|，
曲線C₁的點均在C₂：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$外，
M在直線x=-$\frac{1}{2}$的右側，即x＞-$\frac{1}{2}$，
化簡可得曲線C₁的方程為y²=4x；
（II）由題意可設直線l的方程為y-1=k（x+2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x+2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得，k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0；（1）
當k=0或$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（4{k}^{2}+2k-4）^{2}-4{k}^{2}（2k+1）^{2}=0}\end{array}\right.$，
解可得，k=0或k=-2或k=-1或k=$\frac{1}{2}$；
當k=0或k=-2或k=-1或k=$\frac{1}{2}$時，直線與曲線C₁只有一個公共點；
當$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（4{k}^{2}+2k-4）^{2}-4{k}^{2}（2k+1）^{2}＞0}\end{array}\right.$，
整理可得，$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{2{k}^{2}+k-1＜0}\end{array}\right.$，
解可得，-1$＜k＜\frac{1}{2}$且k≠0
當1$＜k＜\frac{1}{2}$且k≠0時，直線l與曲線C₁個有兩個公共點．

點評 本題考查軌跡方程的求解，考查方程思想的運用，解題的關鍵是直線與拋物線聯(lián)立，屬于中檔題．