Question

14．若橢圓M₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）和橢圓M₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的長軸長相等，c₁、c₂分別為它們的半焦距，且b₁＞b₂．給出下列五個命題，其中為真命題的是②④⑤（寫出所有真命題的序號）
①設(shè)橢圓的離心率為e，則e₁＞e₂；②b₁²-b₂²=c₂²-c₁²；③b₂c₁＞b₁c₂；
④設(shè)橢圓M₁的焦點F₁、F₂，P₁為橢圓M1上的任意一點，橢圓M₂的焦點F₃、F₄，P₂為橢圓M₂上的任意一點，則∠F₁P₁F₂和∠F₃P₂F₄都取最大角時，∠F₁P₁F₂＜∠F₃P₂F₄；
⑤若稱橢圓上的點與焦點之間的線段之間的線段長度為焦半徑，則橢圓M₁的最短的焦半徑比橢圓M₂的最短的焦半徑要長．

Answer 1

分析 利用橢圓M₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）和橢圓M₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的長軸長相等，c₁、c₂分別為它們的半焦距，且b₁＞b₂．對五個命題，分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①設(shè)橢圓的離心率為e，因為b₁＞b₂，所以c₁＜c₂，則e₁＜e₂，故不正確；
②因為a₁=a₂，所以b₁²+c₁²=b₂²+c₂²，所以b₁²-b₂²=c₂²-c₁²，故正確；
③因為b₁＞b₂，c₁＜c₂，所以b₂c₁＜b₁c₂，故不正確；
④設(shè)橢圓M₁的焦點F₁、F₂，P₁為橢圓M1上的任意一點，橢圓M₂的焦點F₃、F₄，P₂為橢圓M₂上的任意一點，則因為b₁＞b₂，c₁＜c₂，所以∠F₁P₁F₂和∠F₃P₂F₄都取最大角時，∠F₁P₁F₂＜∠F₃P₂F₄，故正確；
⑤若稱橢圓上的點與焦點之間的線段之間的線段長度為焦半徑，則橢圓M₁的最短的焦半徑a₁-c₁比橢圓M₂的最短的焦半徑a₂-c₂要長，故正確．
故答案為：②④⑤．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查命題真假判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．