【答案】
分析:根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)逐一判斷,①應(yīng)用斜率的幾何意義,把
看成點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(0,0)連線的斜率,即可通過求圓的切線斜率來計(jì)算;②橢圓的離心率e=
,所以要判斷兩個橢圓的離心率是否相同,只需求出兩個橢圓中的a,c的值;③要求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),必須求出c的值以及焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸;④直線與圓若沒有公共點(diǎn),這直線與圓相離,圓心到直線的距離大于半徑;⑤要求離心率的范圍,只需用含參數(shù)a的式子表示離心率,再根據(jù)a的范圍求出e的范圍.
解答:解:①
=
,可看成點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(0,0)連線的斜率,也即圓(x-2)
2+y
2=3上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率.
∴
的最值即為過原點(diǎn)的直線與圓相切時該直線的斜率,設(shè)過原點(diǎn)的圓的切線方程為y=kx,即kx-y=0,
圓(x-2)
2+y
2=3的圓心(2,0)到直線kx-y=0的距離
=
,解得k=±
,∴
的最大值為
,∴①正確.
②橢圓
中a=2,c=1,∴離心率為
,橢圓
中a=
,c=
,∴離心率為
,∴②正確.
③∵雙曲線方程為
,∴(2-k)(3-k)<0,∴2<k<3,∴2-k<0.3-k>0,∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,
且c
2=3-k+k-2=1,∴c=1,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±1),∴③錯誤.
④若圓x
2+y
2=1與直線y=kx+2沒有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離大于半徑,即
>1,解得,-
<k<
,若-
<k<
,則圓心到直線的距離大于半徑,∴圓與直線無公共點(diǎn),∴圓x
2+y
2=1與直線y=kx+2沒有 公共點(diǎn)的充要條件是
,∴④正確.
⑤∵雙曲線方程為
,∴c
2=a
2+(a+1)
2,
∴e
2=
=
=
+
+2=
+1,∵a>1,∴0<
<1,
∴2<e
2<5,∴
<e<
∴⑤正確.
故選D
點(diǎn)評:本題主要考查圓錐曲線的一些性質(zhì),因?yàn)槭嵌噙x題,只需逐個判斷即可.