Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足a₁a₃a₅=512，S₃=14
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{a_n•log₂a_n}，求數(shù)列的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（2）a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵a₁a₃a₅=512，S₃=14，
∴

a

3 1

q6=512，a1+a1q+a1q2=14，
解得q=2，a₁=2．
∴an=2n．
（2）a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，
∴此數(shù)列的前n項和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2×2+2×3³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．