Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N^*，滿足關(guān)系S_n=2a_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且b_n=

1

(10g2an)2

，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，總有T_n＜

61

36

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n=

1

(10g2an)2

=

1

n2

．可得當(dāng)n≥4時(shí)，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）解：∵S_n=2a_n-2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，化為a_n=2a_n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）證明：b_n=

1

(10g2an)2

=

1

n2

．
∴當(dāng)n≥4時(shí)，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴T_n＜1+

1

4

+

1

9

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=

61

36

-

1

n

＜

61

36

．
∴對(duì)任意正整數(shù)n，總有T_n＜

61

36

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．