Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=(2cos

x

2

，-2sin

x

2

)，且x∈(-

π

9

，

2π

9

]．
求：（1）

a

•

b

和|

a

-

b

|的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）=

a

•

b

-|

a

-

b

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）要求

a

•

b

和|

a

-

b

|的取值范圍，我們要根據(jù)向量

a

=（cosx，sinx），

b

=(2cos

x

2

，-2sin

x

2

)，且x∈(-

π

9

，

2π

9

]．將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．
（2）由（1）的結(jié)論，我們易給出f（x）=

a

•

b

-|

a

-

b

|的解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)最值的求法，即可得到f（x）=

a

•

b

-|

a

-

b

|的最小值．

解答：解：（1）∵

a

=（cosx，sinx），

b

=(2cos

x

2

，-2sin

x

2

)
∴a•b=cosx•2cos

x

2

+sinx•(-sin

x

2

)=2(cosx•cos

x

2

-sinx•sin

x

2

)=2cos

3x

2

又∵x∈(-

π

9

，

2π

9

]，
∴

3x

2

∈(-

π

6

，

π

3

]?cos

3x

2

∈[

1

2

，1]
∴2cos

3x

2

∈[1，2]即

a

•

b

∈[1，2]
∵|a-b|=

|a-b|2

=

(a-b)2

=

a2-2a•b+b2

=

(cos2x+sin2x)+(4cos2 x 2 +4sin2 x 2 )-2•2cos 3x 2

=

1+4-4cos 3x 2

=

5-4cos 3x 2

又∵cos

3x

2

∈[

1

2

，1]∴-4cos

3x

2

∈[-4，-2]
∴

5-4cos 3x 2

∈[1，

3

]；
（2）由（1）知：f（x）=

a

•

b

-|

a

-

b

|=2cos

3x

2

-

5-4cos 3x 2

設(shè)

5-4cos 3x 2

=t，則t2=5-4cos

3x

2

，2cos

3x

2

=

5-t2

2

∴f(x)=

5-t2

2

-t=-

1

2

t2-t+

5

2

=-

1

2

(t2+2t+1)+

5

2

+

1

2

=-

1

2

(t+1)2+3(t∈[1，

3

])
∴由圖象可知：當(dāng)t=

3

時，函數(shù)f（x）取得最小值f(x)min=-

1

2

(

3

+1)2+3=1-

3

．

點評：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進(jìn)行求解．如果求其在區(qū)間上的值域和最值，則要結(jié)合圖象進(jìn)行討論．