Question

求適合下列條件的雙曲線方程．
（1）焦點(diǎn)在y軸上，且過點(diǎn)（3，-4

2

）、（

9

4

，5）．
（2）已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（

6

，2）．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a，b＞0），代入點(diǎn)（3，-4

2

）、（

9

4

，5），列出方程組，解出即可得到；
（2）由雙曲線的漸近線方程y=±

2

3

x，可設(shè)雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=λ（λ≠0），再代入點(diǎn)P（

6

，2），解出λ的值，即可得到雙曲線的方程．

解答： 解：（1）由于焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a，b＞0），
由于過點(diǎn)（3，-4

2

）、（

9

4

，5），
則

32 a2 - 9 b2 =1 25 a2 - 81 16b2 =1

，解得

a2=16 b2=9

，
則有雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

16

-

x2

9

=1；
（2）由雙曲線的漸近線方程y=±

2

3

x，可設(shè)雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=λ（λ≠0）．
由于雙曲線過點(diǎn)P（

6

，2），即有

6

9

-

4

4

=λ，解得λ=-

1

3

，
故所求雙曲線方程為

3

4

y²-

1

3

x²=1．

點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，先確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)條件求出 a，b，同時(shí)注意漸近線方程與雙曲線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．