【題目】設(shè)函數(shù) .
(1)用含a的式子表示b;
(2)令F(x)= ,其圖象上任意一點P(x0 , y0)處切線的斜率 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若a=2,試求f(x)在區(qū)間 上的最大值.
【答案】
(1)解:f(x)的定義域為(0,+∞),
∵f′(x)= ﹣ax+b,
f′(1)=1﹣a+b=0,
∴b=a+1
(2)解:F(x)=lnx+ ,
∴F′(x)= ﹣ =
∴k=F′(x)= ≤ 在(0,3]上恒成立,
∴a≥(﹣ x02+x0)max,x0∈(0,3],
當(dāng)x0=1時,﹣ x02+x0的取得最大值 ,
∴a≥
(3)解:當(dāng)a=2時,f(x)=lnx﹣x2+x,
∴f′(x)= ﹣2x+1= ,
令f′(x)=0,解得x=1或x=﹣ (舍去),
當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x>1時,f′(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)c+ ≤1,即0<c≤ 時,f(x)區(qū)間 上單調(diào)遞增,
∴f(x)max=f(c+ )=ln(c+ )﹣(c+ )2+c+ =ln(c+ )+ ﹣c2,
當(dāng) .即 <c<1時,f(x)在[c,1]上單調(diào)遞增,在[1,c+ ]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(1)=0,
當(dāng)c≥1時,f(x)在[c,c+ ]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(c)=lnc﹣c2+c,
綜上所述,當(dāng)0<c≤ 時,f(x)max=ln(c+ )+ ﹣c2,
當(dāng) <c<1時,f(x)max=0,
當(dāng)c≥1時,f(x)max=lnc﹣c2+c
【解析】(1)先求導(dǎo),再代值計算即可得到b=a+1;(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的斜率,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍;(3)求導(dǎo),分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大值得關(guān)系即可求出.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2ωx(ω>0),將y=f(x)的圖象向右平移 個單位長度后,若所得圖象與原圖象重合,則ω的最小值等于( )
A.2
B.4
C.6
D.8
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【題目】命題p:α∈R,sin(π﹣α)=cosα;命題q:“0<a<4”是“關(guān)于x的不等式ax2+ax+1>0的解集是實數(shù)集R”的充分必要條件,則下面結(jié)論正確的是( )
A.p是假命題
B.q是真命題
C.“p∧q”是假命題
D.“p∨q”是假命題
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【題目】已知函數(shù)f(x)= (x>0).
(1)試判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(2)若f(x)> 恒成立,求整數(shù)k的最大值;
(3)求證:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3 .
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【題目】連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子,令第i次得到的點數(shù)為ai , 若存在正整數(shù)k,使a1+a2+…+ak=6,則稱k為你的幸運數(shù)字.
(1)求你的幸運數(shù)字為3的概率;
(2)若k=1,則你的得分為5分;若k=2,則你的得分為3分;若k=3,則你的得分為1分;若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字則記0分,求得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點P,Q滿足條件:①P、Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P、Q關(guān)于原點對稱,則對稱點(P,Q)是函數(shù)y=f(x)的一個“伙伴點組”(點對(P,Q)與(Q,P)看作同一個“伙伴點組”).則下列函數(shù)中,恰有兩個“伙伴點組”的函數(shù)是(填空寫所有正確選項的序號)
①y= ;②y= ;③y= ;④y= .
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【題目】已知圓C的圓心在直線x﹣2y﹣3=0上,并且經(jīng)過A(2,﹣3)和B(﹣2,﹣5),求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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【題目】如圖,CA,CB分別與圓O切于A,B兩點,AE是直徑,OF平分∠BOE交CB的延長線于F,BD∥AC.
(1)證明:OB2=BCBF;
(2)證明:∠DBF=∠AOB.
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【題目】如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.
(1)證明:tan = ;
(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan 的值.
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