如圖，已知雙曲線x2-y2=1的左、右頂點分別為A1、A2，動直線l：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2）。
（1）求k的取值范圍，并求x2-x1的最小值；
（2）記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么，k1·k2是定值嗎？證明你的結論。
解：（1）∵l與圓相切
∴
∴m2=1+k2
由得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0
∴
∴k2＜1，
∴-1＜k＜1
故k的取值范圍為（-1，1）
由于
所以
∵0≤k2＜1
∴當k2=0時，x2-x1取最小值。
（2）由已知可得A1，A2的坐標分別為（-1，0），（1，0）
∴
∴



由（1）得m2-k2=1
∴為定值。
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（b＞a＞0）且a∈[1，2]，它的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，左右頂點分別為A、B．過F2作圓x2+y2=a2的切線，切點為T，交雙曲線與P、Q兩點．
（Ⅰ）求證直線PQ與雙曲線的一條漸近線垂直．
（Ⅱ）若M為PF2的中點，O為坐標原點，|OM|-|MT|=1，|PQ|=λ|AB|，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知雙曲線x2-
y2
3
=1，A，C分別是虛軸的上、下頂點，B是左頂點，F(xiàn)為左焦點，直線AB與FC相交于點D，則∠BDF的余弦值是（　　）
A、
7
7
B、
5
7
7
C、
7
14
D、
5
7
14

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•上海）如圖，已知雙曲線C1：
x2
2
-y2=1，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1-C2型點”
（1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1-C2型點”；
（3）求證：圓x2+y2=
1
2
內的點都不是“C1-C2型點”

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（上海卷解析版） 題型：填空題

如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1﹣C2型點“

（1）在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；

（2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1﹣C2型點”；

（3）求證：圓x2+y2=內的點都不是“C1﹣C2型點”

 

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