Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+ax，g（x）=lnx，F(xiàn)（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若F（x）在x=1處取得極小值，求F（x）的極大值；
（Ⅱ）若F（x）在區(qū)間(0，

1

4

)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=3，問是否存在與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線？若存在，判斷有幾條？并加以證明，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出F'（x），因為函數(shù)在x=1處取得極值，即得到F'（1）=0，代入求出a與b得到函數(shù)解析式，然后討論利用x的取值范圍討論函數(shù)的增減性，得到F（x）極大值；
（Ⅱ）對函數(shù)F（x）=2x²+ax+lnx進(jìn)行求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成F′（x）在（0，

1

4

）上恒有f′（x）≥0，求出參數(shù)a的取值范圍
（Ⅲ）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是曲線y=g（x）的切線，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線y=g（x）的切線和曲線y=f（x）的切線，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=f（x）+g（x）=2x²+ax+lnx，
∴F′(x)=4x+a+

1

x

(x＞0)，又F（x）在x=1處取得極小值
∴F'（1）=4+a+1=0，∴a=-5，F(xiàn)（x）=2x²-5x+lnx
∴F′(x)=4x-5+

1

x

=

4x2-5x+1

x

=

(4x-1)(x-1)

x

(x＞0)

x	(0， 1 4 )	1 4	( 1 4 ，1)	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-	0	+
F（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴F（x）的極大值為F(

1

4

)=-

9

8

-2ln2．
（Ⅱ）由F（x）在區(qū)間(0，

1

4

)上是增函數(shù)得
當(dāng)x∈(0，

1

4

)時，F′(x)=4x+a+

1

x

≥0恒成立，設(shè)h(x)=-(4x+

1

x

)
則a≥h（x），又h′(x)=-(4-

1

x2

)=

1-4x2

x2

＞0，∴h（x）在(0，

1

4

)上是增函數(shù)，
∴a≥h（x）_max，a≥h(

1

4

)=-5，即實數(shù)a的取值范圍為[-5，+∞）．
（Ⅲ）當(dāng)a=3時，f（x）=2x²+3x，g（x）=lnx，∴f'（x）=4x+3，g′(x)=

1

x

．
設(shè)直線l與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切，切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁=2x₁²+3x₁，y₂=lnx₂
∴l(xiāng)：y-（2x₁²+3x₁）=（4x₁+3）（x-x₁），即y=（4x₁+3）x-2x₁²
又l過點B（x₂，y₂）且f'（x）=g'（x），∴y₂=（4x₁+3）x₂-2x₁²且4x1+3=

1

x2

∴l(xiāng)nx₂=（4x₁+3）x₂-2x₁²，∴-ln（4x₁+3）=1-2x₁²
方程2x₁²-ln（4x₁+3）-1=0有根，設(shè)φ（x）=2x²-ln（4x+3）-1，
則φ′(x)=4x-

4

4x+3

=

4(4x2+3x-1)

4x+3

=

4(4x-1)(x+1)

4x+3

(x＞-

3

4

)
當(dāng)x∈(-

3

4

，

1

4

)時，φ'（x）＜0，φ（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈(

1

4

，+∞)時，φ'（x）＞0，φ（x）是增函數(shù)，
∴φ(x)min=φ(

1

4

)=-

7

8

-ln4＜0．
又當(dāng)x＞-

3

4

且x趨向于-

3

4

時，φ（x）趨向于+∞，
∴φ(

e5-3

4

)=2(

e5-3

4

)2-lne5-1＞2(

25-3

4

)2-6＞0，
∴φ（x）在區(qū)間(-

3

4

，

1

4

)、(

1

4

，+∞)上各有一個根．
∴與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線存在，有2條．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．