Question

9．如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=1，SD=$\sqrt{7}$．
（1）證明：平面SAB⊥平面ABCD；
（2）求點A到平面SDC的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖取AB的中點O，連接OD、SO，由矩形的性質(zhì)可得：OD=BC=2．由側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=2，可得SO⊥AB，且SO=$\sqrt{3}$，SD=$\sqrt{7}$，利用SO²+OD²=SD²，可得SO⊥OD，可得SO⊥平面ABCD，即可證明．
（2）由（1）可得：SO⊥平面ABCD，可得CD⊥SD．設(shè)點A到平面SDC的距離為h，利用V_S-ADC=V_A-SDC，即可得出．

解答 （1）證明：如圖取AB的中點O，連接OD、SO，
∴四邊形BCDO為矩形，∴OD=BC=2．
∵側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=2，
∴SO⊥AB，且SO=$\sqrt{3}$，SD=$\sqrt{7}$，
可得SO²+OD²=SD²，
∴SO⊥OD，
∴SO⊥平面ABCD，又SO?平面SAB．
∴平面SAB⊥平面ABCD．
（2）由（1）可得：SO⊥平面ABCD，∴SO⊥CD，又CD⊥OD，
∴CD⊥SD．
∴S_△SDC=$\frac{1}{2}SD•DC$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．S_△ADC=$\frac{1}{2}DC•BC$=1．
設(shè)點A到平面SDC的距離為h，由V_S-ADC=V_A-SDC，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△ADC}•SO$=$\frac{1}{3}{S}_{△SDC}•h$，
∴$\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}•h$，
∴$h=\frac{2\sqrt{21}}{7}$，即點A到平面SDC的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、等邊三角形與矩形的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．