已知圓(x+2)2+y2=
25
4
的圓心為M,圓(x-2)2+y2=
1
4
的圓心為N,一動圓與這兩圓都外切.
(1)求動圓圓心P的軌跡方程;
(2)若過點N的直線l與(1)中所求軌跡有兩交點A、B,求
AM
BM
的取值范圍.
分析:(1)利用兩個圓相外切的充要條件列出兩個幾何條件,令兩個式子相減;再利用雙曲線的定義判斷出動圓圓心P的軌跡是雙曲線,寫出雙曲線的方程.
(2)分直線的斜率存在于不存在,設出直線的方程,將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,利用韋達定理列出關于k的不等式,求出k的范圍,利用向量的數(shù)量積公式將
AM
BM
用k表示,求出k的范圍.
解答:解:(1)設動圓P的半徑為r,
則|PM|=r+
5
2
,|PN|=r+
1
2
,
相減得|PM|-|PN|=2
由雙曲線定義知,點P的軌跡是以M、N為焦點,焦距為4,實軸長為2的雙曲線的右支,
其雙曲線方程為x2-
y2
3
=1(x≥1)

(2)當直線l的斜率存在時,設為k,則
y=k(x-2)
3x2-y2=3
?(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0

設A(x1,y1),B(x2,y2),
△>0
x1+x2>0?k2>3
x1x2>0
,
AM
=(-2-x1,-y1),
BM
=(-2-x2,-y2)
,
AM
BM
=(-2-x1)(-2-x2)+y1y2
=4+2(x1+x2)+x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=
7k2-9
k2-3
=7+
12
k2-3
>7

當直線的斜率不存在時,x1=x2=2?y1=3,y2=-3
所以,
AM
=(-4,-3),
BM
=(-4,3)?
AM
BM
=7
,
綜合得
AM
BM
≥7
點評:求動點的軌跡方程常用的方法有:直接法、定義法、相關點法、消參法、交軌法等;解決直線與圓相交的問題常利用幾何法特別時,將直線與圓的方程聯(lián)立,利用韋達定理解.
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