Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當n=1時，a₁=s₁=1，當n≥2時，${a}_{n}={s}_{n}-{s}_{n-1}=\frac{{n}^{2}+3n}{4}-\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{4}$=$\frac{n+1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${a}_{n}=\frac{n+1}{2}，_{n}={2}^{n+1}$；$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+\frac{1}{_{3}}+…\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=s₁=1，
當n≥2時，${a}_{n}={s}_{n}-{s}_{n-1}=\frac{{n}^{2}+3n}{4}-\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{4}$=$\frac{n+1}{2}$
經(jīng)檢驗${a}_{1}也符合{a}_{n}=\frac{n+1}{2}$，∴${a}_{n}=\frac{n+1}{2}…（n∈{N}^{+}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${a}_{n}=\frac{n+1}{2}∴_{n}={2}^{n+1}$；
$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+\frac{1}{_{3}}+…\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項及求和，及公式a_n=s_n-s_n-1的應用，屬于基礎題．