11.如圖,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AD∥BC,AD=2BC=2,BC⊥DC,∠BAD=60°,平面PAD⊥底面ABCD,E為AD的中點,△PAD為正三角形,M是棱PC上的一點(異于端點).
(Ⅰ)若M為PC中點,求證:PA∥平面BME;
(Ⅱ)是否存在點M,使二面角M-BE-D的大小為30°.若存在,求出點M的位置;若不存在,說明理由.

分析 (Ⅰ)連接AC交BE與點F,連接CE,推導(dǎo)出四邊形ABCE為平行四邊形,從而MF∥PA,由此能證明PA∥平面BME.
(Ⅱ)連接PE,以E為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出存在點M滿足條件,且M為棱PC上靠近端點C的四等分點.

解答 證明:(Ⅰ)如圖,連接AC交BE與點F,連接CE,
由題意知BC∥AE且BC=AE,故四邊形ABCE為平行四邊形,
∴F為AC中點,
∴在△PAC中,又由M為PC中點有:MF∥PA,
又MF⊆面BME,PA?面BME,
∴PA∥平面BME.
解:(Ⅱ)連接PE,則由題意知PE⊥平面ABCD,
故以E為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則$E({0,0,0}),P({0,0,\sqrt{3}}),B({\sqrt{3},0,0}),C({\sqrt{3},-1,0})$,
設(shè)$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}=({0<λ<1})$,則$M({\sqrt{3}λ,-λ,({1-λ})\sqrt{3}})$,
∴$\overrightarrow{EM}=({\sqrt{3}λ,-λ,({1-λ})\sqrt{3}}),\overrightarrow{EB}=({\sqrt{3},0,0})$,
記平面DBE的法向量$\overrightarrow{n}$=(0,0,1),平面BME的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=\sqrt{3}λx-λy+(1-λ)\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$,有$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}λx-λy+({1-λ})\sqrt{3}z=0\\ \sqrt{3}x=0\end{array}\right.$
令$y=\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{m}$=(0,$\sqrt{3}$,$\frac{λ}{1-λ}$),
又由二面角M-BE-D的大小為30°,得$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|\frac{λ}{1-λ}|}{\sqrt{3+(\frac{λ}{1-λ})^{2}}}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
解得$λ=\frac{3}{4}$,∴$M=({\frac{{3\sqrt{3}}}{4},-\frac{3}{4},\frac{{\sqrt{3}}}{4}})$
故存在點M滿足,且M為棱PC上靠近端點C的四等分點.

點評 本題考查線面平行的證明,考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.

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