【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ax2+ .
(I) 當(dāng)a= 時(shí),判斷f(x)在其定義上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 其中x1<x2 . 求證:
(i)f(x2)>0;
(ii)x1+x2> .
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),
a= 時(shí),f(x)=xlnx﹣ x2+ ,f′(x)=lnx+1﹣x,f″(x)= ,
當(dāng)0<x<1時(shí),f″(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f″(x)<0,
∴f′(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,
∴f′(x)max=f′(1)=0,
∴f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)遞減;
(Ⅱ)證明:(i)∵f′(x)=lnx+1﹣2ax,
∴由函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2
得函數(shù)f′(x)=lnx+1﹣2ax,x>0有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2
∵f″(x)= ﹣2a= ,
當(dāng)a≤0時(shí),有f″(x)>0此時(shí)f′(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴不符合,
∴a>0此時(shí)x∈(0, )時(shí),f″(x)>0,x∈( ,+∞)時(shí),f″(x)<0
∴f′(x)在x∈(0, )上單調(diào)遞增,在x∈( ,+∞)上單調(diào)遞減
又f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2 ,
∴f′( )>0,∴l(xiāng)n >0,∴ >1,∴0<a< ,
∴當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(x1 , x2)時(shí),f′(x)>0,
當(dāng)x∈(x2 , +∞)時(shí),f′(x)<0
∴f(x)在x∈(0,x1)上單調(diào)遞減,在x∈(x1 , x2)上單調(diào)遞增,
在x∈(x2 , +∞)上單調(diào)遞減
又f′(1)=1﹣2a>0,∴1∈(x1 , x2)
∴f(x2)>f(1)=﹣a+ >0;
(ii)由(i)得:0<a< ,
且lnx1+1=2ax1 , lnx2+1=2ax2 ,
∴l(xiāng)nx1+lnx2+2=2a(x1+x2),
lnx1﹣lnx2=2a(x1﹣x2),
∴l(xiāng)n(x1x2)+2= ln ,
令t= ,則0<t<1,且lnx1x2+2= lnt…①,
而lnx1+lnx2+2=2a(x1+x2)…②,
由①②,可得x1+x2> 2a(x1+x2)>2
lnx1+lnx2+2>2 lnt>2
lnt< lnt﹣ <0,
下面證明:當(dāng)t∈(0,1)時(shí),lnt﹣ <0,
令h(t)=lnt﹣ ,h′(t)= >0,
∴h(t)在(0,1)遞增,h(t)<h(1)=0,
∴l(xiāng)nt﹣ <0,
∴x1+x2> .
【解析】(Ⅰ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,求出f′(x)max=f′(1)=0,從而求出函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)(i)函數(shù)f'(x)=lnx+1﹣2ax,x>0有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2 , 討論a>0,a≤0,再求導(dǎo)數(shù),得到f′( )>0,從而0<a< ,再討論f(x)的單調(diào)性,即可得證;(ii)得到ln(x1x2)+2= ln ,令t= ,問題轉(zhuǎn)化為證明lnt﹣ <0在(0,1)恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為,是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求值;如果不存在,請說明理由.
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(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[ , ],求f(x)的取值范圍.
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A.(3,+∞)
B.(0, ]
C.(1,3)
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(I) 求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X);
(Ⅱ)求在男隊(duì)和女隊(duì)得分之和為50的條件下,男隊(duì)比女隊(duì)得分高的概率.
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A.a0+a1+a2+a3
B.(a0+a1+a2+a3)x3
C.a0+a1x+a2x2+a3x3
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(1)若p是q成立的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若是 成立的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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