Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ax2+ ．
（I） 當(dāng)a= 時(shí)，判斷f（x）在其定義上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 其中x1＜x2 ． 求證：
（i）f（x2）＞0；
（ii）x1+x2＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
a= 時(shí)，f（x）=xlnx﹣ x2+ ，f′（x）=lnx+1﹣x，f″（x）= ，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f″（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f″（x）＜0，
∴f′（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f′（x）max=f′（1）=0，
∴f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：（i）∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，
∴由函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2
得函數(shù)f′（x）=lnx+1﹣2ax，x＞0有兩個(gè)零點(diǎn)x1 ， x2
∵f″（x）= ﹣2a= ，
當(dāng)a≤0時(shí)，有f″（x）＞0此時(shí)f′（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴不符合，
∴a＞0此時(shí)x∈（0， ）時(shí)，f″（x）＞0，x∈（ ，+∞）時(shí)，f″（x）＜0
∴f′（x）在x∈（0， ）上單調(diào)遞增，在x∈（ ，+∞）上單調(diào)遞減
又f′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1 ， x2 ，
∴f′（ ）＞0，∴l(xiāng)n ＞0，∴ ＞1，∴0＜a＜ ，
∴當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x1 ， x2）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（x2 ， +∞）時(shí)，f′（x）＜0
∴f（x）在x∈（0，x1）上單調(diào)遞減，在x∈（x1 ， x2）上單調(diào)遞增，
在x∈（x2 ， +∞）上單調(diào)遞減
又f′（1）=1﹣2a＞0，∴1∈（x1 ， x2）
∴f（x2）＞f（1）=﹣a+ ＞0；
（ii）由（i）得：0＜a＜ ，
且lnx1+1=2ax1 ， lnx2+1=2ax2 ，
∴l(xiāng)nx1+lnx2+2=2a（x1+x2），
lnx1﹣lnx2=2a（x1﹣x2），
∴l(xiāng)n（x1x2）+2= ln ，
令t= ，則0＜t＜1，且lnx1x2+2= lnt…①，
而lnx1+lnx2+2=2a（x1+x2）…②，
由①②，可得x1+x2＞ 2a（x1+x2）＞2
lnx1+lnx2+2＞2 lnt＞2
lnt＜ lnt﹣ ＜0，
下面證明：當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，lnt﹣ ＜0，
令h（t）=lnt﹣ ，h′（t）= ＞0，
∴h（t）在（0，1）遞增，h（t）＜h（1）=0，
∴l(xiāng)nt﹣ ＜0，
∴x1+x2＞ ．
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求出f′（x）max=f′（1）=0，從而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）（i）函數(shù)f'（x）=lnx+1﹣2ax，x＞0有兩個(gè)零點(diǎn)x1 ， x2 ， 討論a＞0，a≤0，再求導(dǎo)數(shù)，得到f′（ ）＞0，從而0＜a＜ ，再討論f（x）的單調(diào)性，即可得證；（ii）得到ln（x1x2）+2= ln ，令t= ，問題轉(zhuǎn)化為證明lnt﹣ ＜0在（0，1）恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．