Question

平面直角坐標(biāo)系中過(guò)C（p，0）作直線與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，如圖設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（1）求證y₁，y₂為定值；
（2）若點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ADB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）分情況討論：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，計(jì)算得y₁y₂=-2p²；當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-p），代入拋物線方程得ky²-2py-2p²k=0，因此有y₁y₂=-2p²為定值．
（2）先表示出S△ADB=

1

2

DC•|y1-y2|，再分類討論：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)情況比較簡(jiǎn)單；當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，由（1）知  y1+y2=

2p

k

，最后利用基本不等式求得△ADB面積的最小值即可．

解答：解：（1）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，y1=

2

p，y2=-

2

p，因此y₁y₂=-2p²（定值）；…．（1分）
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-p），
由

y=k(x-p) y2=2px

得ky²-2py-2p²k=0，∴y₁y₂=-2p²..（3分）
因此有y₁y₂=-2p²為定值．…．（1分）
（2）D（-p，0），∴DC=2p.S△ADB=

1

2

DC•|y1-y2|．…（1分）
當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，S△ADB=

1

2

•2p•2

2

p=2

2

p2；…（1分）
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，由（1）知  y1+y2=

2p

k

，
因此|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4p2 k2 +8p2

＞2

2

p，∴S△ADB＞2

2

p2．…（2分）
綜上，△ADB面積的最小值為2

2

p2．…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查弦長(zhǎng)的計(jì)算和直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意分類討論思想和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．