Question

已知f（x）=2^x-1的反函數(shù)為f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范圍D．
（2）設(shè)函數(shù)，當x∈D時，求函數(shù)H（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出反函數(shù)的解析式及定義域，把解析式代入不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域解此不等式；
（2）先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡H（x）的解析式，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，從而解決問題．
解答：解：由y=2^x-1得2^x=y+1，∴x=log₂（y+1）
∴f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）
（1）由f^-1（x）≤g（x）得log₂（x+1）≤log₄（3x+1）
∴l(xiāng)og₄（x+1）²≤log₄（3x+1）
∴
∴D=[0，1]
（2）
∵0≤x≤1∴1≤x+1≤2
∴
∴
∴
∴
點評：本題考查反函數(shù)的求法和函數(shù)的值域，屬于對數(shù)函數(shù)的綜合題，要會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)，掌握有關(guān)對數(shù)函數(shù)的值域的求法，屬中檔題．