已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)上一點C,過雙曲線中心的直線交雙曲線于A,B兩點,記直線AC,BC的斜率分別為k1,k2,當(dāng)
2
k1k2
+ln|k1|+ln|k2|最小時,雙曲線離心率為( 。
A、
2
B、
3
C、
2
+1
D、2
考點:雙曲線的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),由雙曲線的對稱性得B(-x1,-y1),從而得到k1k2=
y2-y1
x2-x1
y2+y1
x2+x1
=
y22-y12
x22-x12
,利用點差法能推導(dǎo)出
2
k1k2
+ln|k1|+ln|k2|=
2
k1k2
+ln(k1k2)
,再由構(gòu)造法利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出雙曲線的離心率.
解答: 解:設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),
由題意知點A,B為過原點的直線與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的交點,
∴由雙曲線的對稱性得A,B關(guān)于原點對稱,
∴B(-x1,-y1),k1=
y2-y1
x2-x1
,k2=
y2+y1
x2+x1

∴k1k2=
y2-y1
x2-x1
y2+y1
x2+x1
=
y22-y12
x22-x12
,
∵點A,C都在雙曲線上,
x12
a2
-
y12
b2
=1
x22
a2
-
y22
b2
=1
,
兩式相減,得:
x12-x22
a2
-
y12-y22
b2
=0
,
∴k1k2=
y12-y22
x12-x22
=
b2
a2
>0,
2
k1k2
+ln|k1|+ln|k2|=
2
k1k2
+ln(k1k2)

對于函數(shù)y=
2
x
+lnx,(x>0)
,
y=-
2
x2
+
1
x
=0,得x=0(舍)或x=2,
x>2時,y=-
2
x2
+
1
x
>0,
0<x<2時,y=-
2
x2
+
1
x
<0,
∴當(dāng)x=2時,函數(shù)y=
2
x
+lnx(x>0)取得最小值,
∴當(dāng)
2
k1k2
+ln|k1|+ln|k2|最小時,k1k2=
b2
a2
=2
,
∴e=
1+
b2
a2
=
3

故選:B.
點評:本題考查雙曲線的離心率的求法,涉及到導(dǎo)數(shù)、最值、雙曲線、離心率等知識點,綜合性強,難度大,解題時要注意構(gòu)造法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)對于一切實數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,則當(dāng)x∈(0,
1
2
),不等式f(x)+2<logax恒成立時,實數(shù)a的取值范圍是
 

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五名三中學(xué)生中午打籃球,將校服放在籃球架旁邊,打完球回教室時由于時間太緊,只有兩名同學(xué)拿對自己衣服的不同情況有
 
種.(具體數(shù)字作答)

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“|x-1|<2”是“(x-1)(x-3)<0”成立的(  )
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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二進(jìn)制數(shù)101110(2)轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)為( 。
A、45(8)
B、56(8)
C、67(8)
D、78(8)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法錯誤的是( 。
A、xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要條件
B、若命題p:?x∈R,x2+x+1≠0,則¬p:?x∈R,x2+x+1=0
C、線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1,表示兩變量的相關(guān)性越強.
D、用頻率分布直方圖估計平均數(shù),可以用每個小矩形的高乘以底邊中點橫坐標(biāo)之后加和

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一名同學(xué)想要報考某大學(xué),他必須從該校的7個不同的專業(yè)中選出5個,并按第一志愿,第二志愿,…,第五志愿順序填進(jìn)志愿表,若A專業(yè)不能作為第一志愿,B專業(yè)不能作為第二志愿,且A、B專業(yè)不能相鄰,則不同的填法種數(shù)有(  )
A、1560B、1500
C、1080D、960

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinωx+sin(ωx+
π
2
),ω>0且函數(shù)f(x)的最小正周期為2π.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值的x值;
(2)若α∈(0,π)且f(α)=
3
4
,求cosα的值.

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對一批共50件的某電器進(jìn)行分類檢測,其重量(克)統(tǒng)計如下:
質(zhì)量段 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100]
件數(shù) 5 a 15 b
規(guī)定重量在82克及以下的為“A”型,重量在85克及以上的為“B”型,已知該批電器有“A“型2件
(Ⅰ)從該批電器中任選1件,求其為“B“型的概率;
(Ⅱ)從重量在[80,85)的5件電器中,任選2件,求其中恰有1件為“A”型的概率.

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同步練習(xí)冊答案