Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)C，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，記直線AC，BC的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)

2

k1k2

+ln|k₁|+ln|k₂|最小時(shí)，雙曲線離心率為（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  2

  +1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由雙曲線的對稱性得B（-x₁，-y₁），從而得到k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，利用點(diǎn)差法能推導(dǎo)出

2

k1k2

+ln|k₁|+ln|k₂|=

2

k1k2

+ln(k1k2)，再由構(gòu)造法利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由題意知點(diǎn)A，B為過原點(diǎn)的直線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的交點(diǎn)，
∴由雙曲線的對稱性得A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴B（-x₁，-y₁），k1=

y2-y1

x2-x1

，k2=

y2+y1

x2+x1

，
∴k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，
∵點(diǎn)A，C都在雙曲線上，
∴

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，
兩式相減，得：

x12-x22

a2

-

y12-y22

b2

=0，
∴k₁k₂=

y12-y22

x12-x22

=

b2

a2

＞0，
∴

2

k1k2

+ln|k₁|+ln|k₂|=

2

k1k2

+ln(k1k2)，
對于函數(shù)y=

2

x

+lnx，(x＞0)，
由y′=-

2

x2

+

1

x

=0，得x=0（舍）或x=2，
x＞2時(shí)，y′=-

2

x2

+

1

x

＞0，
0＜x＜2時(shí)，y′=-

2

x2

+

1

x

＜0，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=

2

x

+lnx（x＞0）取得最小值，
∴當(dāng)

2

k1k2

+ln|k₁|+ln|k₂|最小時(shí)，k1k2=

b2

a2

=2，
∴e=

1+ b2 a2

=

3

．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的離心率的求法，涉及到導(dǎo)數(shù)、最值、雙曲線、離心率等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．