Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，f（x+1）為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）已知k的取值范圍為[

2

3

，+∞），則是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)f（x+1）為偶函數(shù)，可得f（-x+1）=f（x+1），從而b=-2a，f（x）=ax²-2ax，利用函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，可得二次方程ax²-（2a+1）x=0有兩相等實數(shù)根，從而可求f（x）的解析式；
（II）先確定f（x）在[m，n]上是單調增函數(shù)，從而

f(m)=km f(n)=kn

，進而可得m，n為方程-

1

2

x²+x=kx的兩根，結合m＜n且k≥

2

3

，可得結論．

解答：解：（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1），即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax²-2ax，∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴二次方程ax²-（2a+1）x=0有兩相等實數(shù)根，∴△=（2a+1）²-4a×0=0，
∴a=-

1

2

，即有f（x）=-

1

2

x²+x…（5分）
（2）∵f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，∴[km，kn]⊆（-∞，

1

2

]，∴kn≤

1

2

，又k≥

2

3

，∴n≤

1

2k

≤

3

4

，
又[m，n]⊆（-∞，1]，f（x）在[m，n]上是單調增函數(shù)，∴

f(m)=km f(n)=kn

即

1 2 m2+m=km - 1 2 n2+n=kn.

即m，n為方程-

1

2

x²+x=kx的兩根，解得x₁=0，x₂=2-2k．
∵m＜n且k≥

2

3

．
故當

2

3

≤k＜1時，[m，n]=[0，2-2k]； 當k＞1時，[m，n]=[2-2k，0]；  當k=1時，[m，n]不存在…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的定義域與值域，正確運用函數(shù)的性質是關鍵．