Question

如圖，△PAC與△ABC是均以AC為斜邊的等腰直角三角形，AC=4，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，G為OC的中點(diǎn)，且PO⊥平面ABC．
（1）證明：FE∥平面BOG；
（2）求二面角EO-B-FG的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面BOE的法向量

n

•

FG

=0即可證明；
（2）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出．

解答：（1）證明：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OB

，

OC

，

OP

的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù)，
則O（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，-2，0），P（0，0，2），G（0，1，0），E（0，-1，1），F(xiàn)（1，0，1）．
∴

OE

=(0，-1，1)，

OB

=(2，0，0)，

FG

=(-1，1，-1)．
設(shè)平面OBE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • OE =-y+z=0 n • OB =2x=0

，令y=1，解得

n

=(0，1，1)，
∴

FG

•

n

=0+1-1=0，∴

FG

⊥

n

，
∵G∉平面BOE，∴FG∥平面BOE；
（2）由 （1）的證法二可知．平面OBE的法向量為

n

=(0，1，1)．
設(shè)平面BGF的法向量為

m

=(a，b，c)，又

GB

=(2，-1，0)，
則

GB • m =2a-b=0 FG • n =-a+b-c=0

，令c=1，則

m

=(1，2，1)，
設(shè)二面角EO-B-FG的平面角為θ，則|cosθ|=

| n • m |

| n | | m |

=

3

2 × 6

=

3

2

由由圖易知二面角EO-B-FG的平面角為銳角，
∴二面角EO-B-FG的余弦值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面BOE的法向量

n

•

FG

=0、兩個(gè)平面的法向量的夾角公式求二面角的平面角等是解題的關(guān)鍵．