【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是等邊三角形,側(cè)面AA1B1B為正方形,且AA1⊥平面ABC,D為線段AB上的一點.
(Ⅰ) 若BC1∥平面A1CD,確定D的位置,并說明理由;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的條件下,求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)D為AB的中點,理由如下: 連接AC1 , 交A1C于點E,可知E為AC1的中點,連接DE,
因為BC1∥平面A1CD,
平面ABC1∩平面A1CD=DE,
所以BC1∥DE,
故D為AB的中點.
(Ⅱ)不妨設(shè)AB=2,分別取BC,B1C1的中點O,O1 , 連接AO,OO1 , 可知OB,OO1 , OA兩兩互相垂直,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.

,
,
設(shè)面A1CD的法向量m=(x,y,z),

令x=1,得A1CD的一個法向量為 ,
又平面BCC1的一個法向量n=(0,0,1),
設(shè)二面角A1D﹣C﹣BC1的平面角為α,

即該二面角的余弦值為
【解析】(Ⅰ)D為AB的中點,理由如下:連接AC1 , 交A1C于點E,可知E為AC1的中點,連接DE,利用線面平行的性質(zhì)定理、三角形中平行線的性質(zhì)即可得出.(Ⅱ)不妨設(shè)AB=2,分別取BC,B1C1的中點O,O1 , 連接AO,OO1 , 可知OB,OO1 , OA兩兩互相垂直,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.利用線面垂直的性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得:平面A1CD的法向量 ,又平面BCC1的一個法向量 =(0,0,1),利用向量夾角公式即可得出.

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