Question

將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，給出下列四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②AB與CD所成角為60°；③△ACD為正三角形；④AB與平面BCD所成角為60°．其中正確的結(jié)論是

 

（填寫(xiě)結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，我們以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出ABCD各點(diǎn)坐標(biāo)后，進(jìn)而可以求出相關(guān)直線的方向向量及平面的法向量，然后代入線線夾角，線面夾角公式，及模長(zhǎng)公式，分別計(jì)算即可得到答案．

解答：解：連接AC與BD交于O點(diǎn)，對(duì)折后如圖所示，令OC=1
則O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，-1，0）
則

AC

=（-1，0，1），

BD

=（0，-2，0），∵

AC

•

BD

=0，故①AC⊥BD正確；

AB

=（-1，1，0），

CD

=（0，-1，-1），則|cos＜

AB

，

CD

＞|=|

AB • CD

| AB |•| CD |

|=

1

2

，故②AB與CD所成角為60°正確；
∵|

AC

|=|

AD

|=|

CD

|=

2

，∴③△ACD為正三角形正確；
∵

OA

為平面BCD的一個(gè)法向量，根據(jù)正方形的性質(zhì)，易得AB與平面BCD所成角為45°，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造空間坐標(biāo)系，將空間線線夾角，線面夾角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．