Question

已知點P在曲線y=

4

ex+1

上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由導函數(shù)的幾何意義可知函數(shù)圖象在切點處的切線的斜率值即為其點的導函數(shù)值，結合函數(shù)的值域的求法利用基本不等式求出k的范圍，再根據k=tanα，結合正切函數(shù)的圖象求出角α的范圍．

解答：解：根據題意得f′（x）=-

4ex

e2x+2ex+1

，
∵k=-

4

ex+ 1 ex +2

≥ -

4

2+2

=-1，
且k＜0
則曲線y=f（x）上切點處的切線的斜率k≥-1，
又∵k=tanα，結合正切函數(shù)的圖象
由圖可得α∈[

3π

4

，π)，
故答案為：[

3π

4

，π)．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義，以及利用正切函數(shù)的圖象求傾斜角等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．