Question

以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，0），t∈[3，+∞）．點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）求x關(guān)于t的函數(shù)x=f（t）的表達(dá)式，并判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）設(shè)△OFG的面積，若O以為中心，F(xiàn)，為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，求當(dāng)取最小值時(shí)橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，C，D是橢圓上的兩點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F的坐標(biāo)（t，0），．點(diǎn)G的坐標(biāo)（x，y）可求出，坐標(biāo)，再代入，即可求x關(guān)于t的函數(shù)x=f（t）的表達(dá)式，再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）先用含點(diǎn)G的坐標(biāo)式子表示△OFG的面積，再根據(jù)△OFG的面積，求出y0，再判斷何時(shí)取最小值，
可得此時(shí)的橢圓方程．
（3）設(shè)C，D的坐標(biāo)分別為（x，y）、（m，n），求，坐標(biāo)，再根據(jù)用含λ的式子表示n，根據(jù)n的范圍求λ的范圍即可．
解答：解：（1）由題意得：=（t，0），=（x，y），═（x-t，y），
則：，解得：
所以f（t）在t∈[3，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由S=||•|y|=|y|•t=得y=±，
點(diǎn)G的坐標(biāo)為（t+，），=
當(dāng)t=3時(shí)，||取得最小值，此時(shí)點(diǎn)F，G的坐標(biāo)為（3，0）、（，±）
由題意設(shè)橢圓的方程為，又點(diǎn)G在橢圓上，
解得b²=9或b²=-（舍）故所求的橢圓方程為
（3）設(shè)C，D的坐標(biāo)分別為（x，y）、（m，n）
則=（x，y-），=（m，n-）由得（x，y-）=λ=（m，n-），
∴x=λm，y=λn-λ+
又點(diǎn)C，D在橢圓上消去m得n=   
|n|≤3，∴||≤3解得
又∵λ≠1
∴實(shí)數(shù)λ的范圍是[，1）∪（1，5]
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線與函數(shù)之間的關(guān)系，做題時(shí)要認(rèn)真分析，找到之間的聯(lián)系．