Question

（Ⅰ）設a，b，c∈（0，+∞），求證：

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c；
（Ⅱ）已知a+b=1，對?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）,函數(shù)恒成立問題

專題：證明題,綜合題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）a＞0，b＞0，c＞0，利用基本不等式，可得

a2

b

+b≥2a，同理

b2

c

+b≥2b，

c2

a

+a≥2c，三式累加即可證得結(jié)論成立；
（Ⅱ）利用基本不等式可求得

1

a

+

4

b

=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥9，于是

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立?|2x-1|-|x+1|≤9恒成立，通過對x范圍的分類討論，去掉絕對值符號后解之，即可求得x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c∈（0，+∞），
∴a²+b²≥2ab，
∴

a2

b

+b≥2a，同理

b2

c

+b≥2b，

c2

a

+a≥2c，
相加得

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+a+b+c≥2a+2b+2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c；
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴

1

a

+

4

b

=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥9，
∴

1

a

+

4

b

的最小值為9．               
∵對?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
∴|2x-1|-|x+1|≤9．
∴當x≤-1時，2-x≤9，解得：x≥-7，
∴-7≤x≤-1；
當-1＜x＜

1

2

時，-3x≤9，解得：x≥-3，
∴-1＜x＜

1

2

；
當x≥

1

2

時，x-2≤9，解得：x≤11，
∴

1

2

≤x≤11；
綜上所述，x的取值范圍為：-7≤x≤11．

點評：本題考查基本不等式的應用，突出考查綜合法證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想與推理論證的能力，考查分類討論思想與恒成立問題，屬于難題．