Question

已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，滿足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2．
（1）求證：f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)f（3）=5時(shí)，解不等式：f（a²-2a-2）＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接設(shè)x₁＜x₂，根據(jù)x＞0，f（x）＞2得到f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞2+f（x₁）-2=f（x₁），即可得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)f（3）=5以及f（x）+f（y）=f（x+y）+2可得到f（1）=3，再把所求不等式轉(zhuǎn)化為a²-2a-2＜1，解之即可．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0，f（x）＞2；
∴f（x₂-x₁）＞2；
又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞2+f（x₁）-2=f（x₁），
即f（x₂）＞f（x₁）．
所以：函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)
（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3．
即f（a²-2a-2）＜3⇒f（a²-2a-2）＜f（1）
∴a²-2a-2＜1⇒a²-2a-3＜0
解得：-1＜a＜3．

點(diǎn)評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．