Question

8．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是（　　）

• A． k＞-$\frac{a}$
• B． k＜$\frac{a}$
• C． k＞$\frac{a}$或k＜-$\frac{a}$
• D． -$\frac{a}$＜k＜$\frac{a}$

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為：y=k（x-c）代入雙曲線方程得：（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有兩根，x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，由此能求出結(jié)果．

解答 解：由題意可設(shè)直線方程為：y=k（x-c）代入雙曲線方程得：
（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有兩根，可設(shè)為x₁＞0，x₂＜0：
x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，
因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，
所以-$\frac{a}$＜k＜$\frac{a}$
反之當(dāng)-$\frac{a}$＜k＜$\frac{a}$時(shí)，直線l與雙曲線C的左右兩支都相交，
故直線l與雙曲線C的左右兩支都相交的充要條件是-$\frac{a}$＜k＜$\frac{a}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查必要條件、充分條件、充要條件的判斷和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．